segunda-feira, 21 de abril de 2008

Exercícios Resolvidos de PA

Exercícios de P.A

1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.

2. Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
4.
5.
6. Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.

5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6 - Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:

6. Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:

8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.



1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
a1=5 r=11 a13=?
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11
a13 = 5 + (12).11
a13 = 5 + 132
a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r
100 = a1 + (5 - 1).10
100 = a1 + 40
100 - 40 = a1
a1 = 60

3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
27 = (21 - 6r) + 8r
27 = 21 + 2r
27 - 21 = 2r
6 = 2r
6/2 = r
r = 3

4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema:
a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n
-42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n = 7 Resposta certa letra "B

5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
- Informações:

a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"

1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
- Informações do problema:
a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:

S30 = (287) . 15
S30 = 4305

2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema:
a1=21 r=7 S12=?
- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98
- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6
S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714

3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
- O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
- Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
- Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa letra "C"

1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:

- Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:
a1=5 e a12=38 r=?
- Agora é só usar a fórmula do termo geral :
a12=a1+(12-1)r
38=5+11r
38-5=11r
33=11r
r=33/11
r=3 Resposta certa letra "C"

2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações do problema:
a1=112 an=250 r=23
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

- Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"




) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
- Informações do problema:
a7=20 a10=32 a20=?
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
a7=a1+6r a10=a1+9r
20=a1+6r 32=a1+9r
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
20=a1+6r
32=a1+9r Vamos isolar o termo a1na primeira equação
a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação
32=20-6r+9r
32-20=9r-6r
12=3r
r=12/3
r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.
20=a1+6•4
20=a1+24
a1=-24+20
a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
a20=a1+19r
a20=-4+19•4
a20=-4+19•4
a20=72 Resposta certa letra "C".


2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:
a1= (x-2)
a2= (x-5)
...
- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:
r=a2-a1=(x-5)-(x-2)
r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2
r=-5+2 X com -X se anulam
r=-3 Esta é a razão
- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:
an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores
(x-47)=(x-2)+(n-1)•(-3)
x-47-x+2= -3n+3
-45-3= -3n
-3n=-48
n=48/3
n=16
- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2
Sn=(2x-49)*8
Sn=16x-392
- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:
(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424
16x-392=424
16x=424+392
16x=816
x=816/16
x=51 Resposta certa, letra "A"

3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A)
(B)
(C) 53
(D) 265
(E) 53
- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:



- Agora é só aplicar a fórmula da soma:

Resposta certa, letra "B".

4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.
Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.
O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

Resposta certa, letra "C".

5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.
bn=a5n então
b1=a5•1
b1=a5
bn=a5n então
b2=a5•2
b2=a10

Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :
a5=a1+(5-1)r
a5=a1+4r então
b1=a1+4r
a10=a1+(10-1)r
a10=a1+9r então
b2=a1+9r

Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r)
b2-b1=5r
R=5r Resposta certa, letra "C".

6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações:
r=9 a1=4 an=58 n=?
- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
58=4+(n-1)9
58-4=9n-9
54+9=9n
63=9n
n=63/9
n=7 Resposta certa, letra "E".

7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
a40=a1+(40-1)•r
a40=0+(39)•1
a40=0+39
a40=39
- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
S40=(0+39)•40/2
S40=39•20
S40=780 Resposta certa, letra "D".

8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
- Informações:
S11=35200 r=400
- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só:
an=a1+(n-1)r
a11=a1+(11-1)r
a11=a1+10r sabemos que a razão é 400
a11=a1+10•400
a11=a1+4000
- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:

- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
a11=a1+4000
a11=1200+4000
a11=5200 Resposta certa, letra "B".

9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).
- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo.
Sn=3n2+5n
S1=3•12+5•1
S1=3+5
a1=8
- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2:
S2=3•22+5•2
S2=3•4+10
S2=12+10
S2=22
- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto:
a1+a2=22
8+a2=22
a2=22-8
a2=14
- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1:
r=a2-a1
r=14-8
r=6 Resposta certa, letra "B".

10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}
- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
a100=a1+(100-1)r
a100=p+99•p
a100=100p
- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A".
S100=(a1+a100)•100/2
S100=(p+100p)•50
S100=(101p)•50
p=5050p
- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B".
a100=100q
S100=(q+100q)•50
S100=(101q)•50
S100=5050q
- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra "D".

11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
- Informações:
a1=-a an=20a r=7
- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:

Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:
3a+1-2
3a-1 Resposta certa letra "B".

GABARITO
01-C 04-C 07-D 10-D
02-A 05-C 08-B 11-B
03-B 06-E 09-B
Do conjunto de todos os números naturais n, n ≤ 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os mútiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.

13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possía
(A) mais de 300 bolitas.
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.

2 comentários:

Roselma disse...

Gostei muito das explicações, consegui tirar várias dúvidas.
Tenho dúvida em um. Se puder Confira e me dê a resposta.
Quantos multiplos de 6 existem entre -9 e 99?
Fiz desse jeito:
multiplos são; -6 e 96.
a1=-9
an=99
r=6
n=?
an=a1+(n-1).r
99=-9+(n-1).6
99=-9+6n-6
99+9+6=6n
114=6n
n=114/6
n=19
tirando o 1º e o ultimo termo:
19-2= 17
Será que acertei?
Por favor me responda
roselmaferreira@oi.com.br
obrigada.

rayane disse...

como resolve a questao 13?